相關(guān)期刊
時間：2022-11-06 01:11:26
序論：好文章的創(chuàng)作是一個不斷探索和完善的過程，我們?yōu)槟扑]十篇百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題范例，希望它們能助您一臂之力，提升您的閱讀品質(zhì)，帶來更深刻的閱讀感受。
百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的題型可以有很多變化,但是有一些典型的題型會反復(fù)出現(xiàn)。因此,教師幫助學(xué)生了解一些典型題目的特點,概括出常用的分析方法和解題策略是很有必要的。
百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題主要分為兩大類型:
1.求百分之幾。
常見的有求百分率、求一個數(shù)量是(占)另一個數(shù)量的百分之幾、求一個數(shù)量比另一個數(shù)量多(或少)百分之幾等題型。求百分率都是用已知量除以總數(shù)量再化成百分?jǐn)?shù)。求一個數(shù)量是另一個數(shù)量的百分之幾(另一個數(shù)量是標(biāo)準(zhǔn)比較量,即單位“1”),都是用前面的數(shù)量除以后面的數(shù)量(單位“1”)。求一個數(shù)量比另一個數(shù)量多(或少)百分之幾總是要用多(或少)的那部分?jǐn)?shù)量除以單位“1”。但多(或少)的那部分?jǐn)?shù)量有時在題中沒有告訴,有時直接告訴,因此就要提醒學(xué)生注意區(qū)別。如:
①男生有25人,女生有20人,男生比女生多百分之幾?
②女生有20人,男生比女生多5人,男生比女生多百分之幾?
前者要先求出相差的數(shù)量,再除以單位“1”;后者相差的數(shù)量已經(jīng)告訴,可以直接用它除以單位“1”。
2.已知百分之幾,求具體的數(shù)量。
這一類題型的變化較多,數(shù)量關(guān)系也稍復(fù)雜一些,但也可找到一些具有一定代表性的題型。如:求一個數(shù)量的百分之幾是多少?已知一個數(shù)量的百分之幾是多少,求這個數(shù)量。求一個數(shù)量增加(或減少)它的百分之幾是多少?已知一個數(shù)量增加(或減少)它的百分之幾是多少,求這個數(shù)量,等等。第一種情況可以直接用乘法(即用單位“1”乘以百分?jǐn)?shù));第二種情況一般可以用方程或除法解決;第三種情況可以先求出單位“1”的百分之幾是多少(即增加或減少的數(shù)量),再用單位“1”加上(或減去)這部分?jǐn)?shù)量;第四種情況往往用方程解決(設(shè)單位“1”為X),方程的數(shù)量關(guān)系類似第三種情況。
二、分析數(shù)量關(guān)系
學(xué)生解決百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的關(guān)鍵在于理解百分?jǐn)?shù)在具體題目中的含義,能夠獨立、熟練地分析數(shù)量關(guān)系,根據(jù)數(shù)量關(guān)系靈活選擇合適的方法解決問題。我認(rèn)為可以分為以下幾個層次進行:
1.確定單位“1”。
找準(zhǔn)題目中的單位“1”是解決百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的首要條件。單位“1”指的是比較的標(biāo)準(zhǔn)量,凡是題中出現(xiàn)的百分?jǐn)?shù)都是單位“1”的百分之幾而不是其他任何一個數(shù)量的百分之幾。為了避免學(xué)生生搬硬套,教師要讓學(xué)生確定題目中的百分?jǐn)?shù)具體指的是哪個數(shù)量的百分之幾。
2.確定解題法。
解決百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題通常有兩種方法:(1)列算式解答;(2)列方程解答。具體選用哪一種方法要根據(jù)題目的特點來確定。學(xué)生比較適應(yīng)順推的思路,對于“單位‘1’的數(shù)量×百分?jǐn)?shù)=……”這樣的數(shù)量關(guān)系容易理解,通常題目中單位“1”的數(shù)量如果知道,那么一般采用算式方法解答;如果單位“1”的具體數(shù)量不知道,一般就設(shè)單位“1”的量為x。
3.確定對應(yīng)量。
要分析數(shù)量關(guān)系,學(xué)生首先要把各部分具體數(shù)量和它們所表示的百分?jǐn)?shù)互相對應(yīng)起來。這里有兩種情況必須明確:
(1)條件中的已知量所對應(yīng)的百分?jǐn)?shù)是什么?如:
修一條公路,已經(jīng)修了它的40%,還剩60千米,這條公路一共有多少千米?
題中的已知量是60千米,是還剩的千米數(shù),40%是已經(jīng)修的千米數(shù)占總路程的40%,那么60千米應(yīng)該占總路程的60%,所以60千米對應(yīng)的百分?jǐn)?shù)應(yīng)該是60%。
(2)單位“1”的百分之幾表示的具體數(shù)量是什么?如:
柳樹有200棵,楊樹比柳樹多25%,楊樹有多少棵?
經(jīng)過分析可以知道,這道題的單位“1”是柳樹的棵數(shù),柳樹棵數(shù)的25%所表示的具體數(shù)量應(yīng)該是楊樹比柳樹多的棵數(shù)(即柳樹棵數(shù)×25%=楊樹比柳樹多的棵數(shù))。
4.確定關(guān)系式。
這是分析數(shù)量關(guān)系的最后一步,在做好了前面的一系列分析工作之后,學(xué)生可以進一步分析題目中存在的數(shù)量關(guān)系,根據(jù)題目所求的問題綜合考慮,選擇列出恰當(dāng)?shù)臄?shù)量關(guān)系式解決問題。
三、強化實際應(yīng)用
教學(xué)百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的主要目的是要讓學(xué)生將所學(xué)的有關(guān)百分?jǐn)?shù)的知識應(yīng)用于實際生活中,提高其靈活應(yīng)用和獨立分析的能力,真正實現(xiàn)“數(shù)學(xué)知識來源于生活又應(yīng)用于生活”。
1.學(xué)習(xí)內(nèi)容生活化。
《國家數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出:“數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該是從學(xué)生的生活經(jīng)驗和已有的知識背景出發(fā),向他們提供充分的進行數(shù)學(xué)活動和交流的機會?！庇嘘P(guān)學(xué)校興趣組的問題、班(年)級人數(shù)的問題、商店打折的問題等,在學(xué)生生活中司空見慣,所以往往能吸引他們的注意,提高學(xué)習(xí)積極性,激發(fā)探索意識,有利于發(fā)展他們的靈活應(yīng)用能力,又能使他們獲得成功的體驗。
2.教學(xué)形式開放化。
為了提高其獨立分析解決實際問題的能力,練習(xí)的形式可以采用多種變化。如教師可讓學(xué)生根據(jù)給出的算式和數(shù)量關(guān)系,合理選擇所要填寫的條件。
學(xué)校美術(shù)組有20人,___________,科技組有多少人?
科技組的人數(shù)是美術(shù)組的80%20×80%
科技組的人數(shù)比美術(shù)組多80%20+20×80%
是科技組的80%80%x=20
比科技組多80%x+80%x=20
教師還可以讓學(xué)生利用生活中獲得的信息嘗試編寫百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題,在課堂上互相進行考驗和學(xué)習(xí),從而提高學(xué)生解決實際問題的能力。
應(yīng)用題教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中很令人“頭痛”的事，學(xué)生很難抽象出對象之間的內(nèi)在關(guān)系。特別是對一些對于語言文字理解能力較弱、邏輯思維水平偏低的學(xué)生來說，更是理不出頭緒。長此以往，有的學(xué)生甚至不看題目胡亂寫些答案“交差”。為此，我從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度出發(fā)，綜合學(xué)生學(xué)習(xí)這類應(yīng)用題時所出現(xiàn)的種種情況，從而形成一定的教學(xué)策略，對學(xué)生學(xué)習(xí)百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題有了一定的指向作用。
一、解百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的一般步驟
一直以來，學(xué)生普遍反映應(yīng)用題太難學(xué)了。到了高年級之后，百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的出現(xiàn)使得部分學(xué)生有了“沒有最難，只有更難”的體驗。原因何在？作為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)重要內(nèi)容之一的百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，其中蘊含的數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜，運用到的數(shù)量關(guān)系模型更多。在本階段中，教材對于分析和綜合、抽象和概括等能力要求有了一定的提升，在這些方面存在薄弱環(huán)節(jié)的小學(xué)生，自然對題目難以理解，解答的過程又易于混淆，甚至是不知所云、南轅北轍。如何指導(dǎo)學(xué)生掌握知識的內(nèi)在聯(lián)系，揭示解答問題的規(guī)律，突破學(xué)習(xí)上的瓶頸，使學(xué)生學(xué)得“輕松明了”是放在數(shù)學(xué)教師面前的一個需要迫切解決的問題。下面，結(jié)合“列方程解決稍復(fù)雜的百分?jǐn)?shù)實際問題”來談?wù)剬Π俜謹(jǐn)?shù)應(yīng)用題教學(xué)的一些策略。
從日常的學(xué)習(xí)反饋中，我們不難發(fā)現(xiàn)：學(xué)生有時做題手忙腳亂，其原因之一就是因為他們不善于提取題目中的有用信息，也可能是他們不善于從整體上把握題目中的數(shù)量關(guān)系。其實在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，每個學(xué)習(xí)內(nèi)容都有其關(guān)鍵之處。如果能恰到好處地把握住解決問題的本質(zhì)，那么學(xué)生對于該學(xué)習(xí)內(nèi)容的掌握和運用自然就會順暢多了。怎么從整體上把握呢？
1.抓關(guān)鍵句，把握整體數(shù)量關(guān)系。在應(yīng)用題中，我們或許會發(fā)現(xiàn)很多的信息，但是最為重要的只是其中的一兩句。怎么樣才能挖掘出這樣的句子呢？
某小型養(yǎng)殖場，雞和鴨共有420只，雞的只數(shù)比鴨多40%。這個養(yǎng)殖場中，雞和鴨各有多少只？不難發(fā)現(xiàn)上題中有“雞和鴨共有420只”這么一句話，這就是本題關(guān)鍵之一。那么怎樣來理解呢？經(jīng)過個別交流和小組論證，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)其中的“和”這個字很熟悉，憑借以往的經(jīng)驗我們知道：在方程這一階段，只要是求兩個數(shù)的“和”，一般都是用加法的。進而思考到底“是哪兩個數(shù)相加呢？”經(jīng)過師生間來回的唇槍舌劍，問題的本來面目逐漸展現(xiàn)在了我們面前，學(xué)生逐漸能用含有文字的數(shù)量關(guān)系式來表示：“雞的只數(shù)＋鴨的只數(shù)=420”。但是，有的題目中不會直接出現(xiàn)“和”這個字，如：陽光小學(xué)體育組有42人，女生人數(shù)是男生人數(shù)的40%。體育組男、女生各有多少人？雖然本題沒有把“和”寫出來，但回到生活的情景后再細(xì)細(xì)品味一下，我們不難發(fā)現(xiàn)它的影子。高度的概括、抽象——或許這就是數(shù)學(xué)來源于生活又高于生活的一種體現(xiàn)吧！
在眾多的應(yīng)用題中，我們不難發(fā)現(xiàn)有些句子中總是含有“一共”“和”“比……多”“比……少”等詞語。如果我們能夠緊緊抓住這些詞語，并進行適當(dāng)?shù)乩斫?，就可以在一定程度上減少一些解題時的方向性錯誤。這對于正確解題是一個有力的保證。
2.抓關(guān)鍵字，體會對象間關(guān)系。顯然，如果只是從關(guān)鍵句下手，那么這只是把握了本題的解題方向而已，要想完整地把問題解答出來，還需要我們對題目中的信息進行一番品味——抓關(guān)鍵字。
再說說上面的體育組人數(shù)問題：從“陽光小學(xué)體育組有42人”中，我們可以發(fā)現(xiàn)“男生人數(shù)+女生人數(shù)=42”，但是最后求的是“男生有多少人？”“女生有多少人？”這兩個都是未知量，而我們接觸的比較多的是只含有一個未知量的題型，還能用以往類似的方法進行求解嗎？還是一切都出來？
這時，我們需要向題目中的另一個條件“女生人數(shù)是男生人數(shù)的40%”尋求幫助。那么，男生人數(shù)和女生人數(shù)誰是未知量x呢？
3.細(xì)化條件，體會主次關(guān)系。由于“男生人數(shù)的40%”表示的就是“女生人數(shù)”，也就是說“女生人數(shù)”可以寫成“男生人數(shù)×40%”。最后我們得出了這樣的推導(dǎo)過程：男生人數(shù)+女生人數(shù)=42，男生人數(shù)+男生人數(shù)×40%=42。經(jīng)過了上面系統(tǒng)地分析，我們最后將所有的“矛頭”都指向了“男生人數(shù)”上了，因此設(shè)男生人數(shù)為未知量x是一個不錯的選擇，可以列出如下的方程：x+40%x=42。以上的方程并不復(fù)雜，學(xué)生一般都可以正確地求出x的數(shù)值。
二、發(fā)揮“估算”在解決問題中的實際作用
經(jīng)過近幾年的課堂教學(xué)，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生中有的是思維上存在問題——想錯了，有的是計算存在瑕疵——算錯了。如果出現(xiàn)經(jīng)常性的“算錯”，那么我們教師就要引起重視，正確分析其中可能的原因：是不懂算理，還是計算能力太低？
在“百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題”這一教學(xué)內(nèi)容上，很少有學(xué)生對題目的答案進行分析、驗算，或許是因為百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的計算本身就很繁瑣，再驗算一遍那豈不是“自找麻煩”！其實，在不要求精確驗算答案的正確與否時，我們可以對答案進行粗略的估算。就如上面的這一題，就有些學(xué)生得出了一些稀奇古怪的答案。如：x=300，x=3，甚至出現(xiàn)了分?jǐn)?shù)或小數(shù)的答案。我們可以這樣試想：人數(shù)應(yīng)該是整數(shù)的形式，一般情況下不可能出現(xiàn)小數(shù)或分?jǐn)?shù)的；其次如果男女生人數(shù)一樣多的話，那么男生就是21人，我們現(xiàn)在的答案應(yīng)該在21～42之間。
問題在于這些學(xué)生對于答案沒有進行一個大概的估計，沒有養(yǎng)成一個良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣。因此，要教會學(xué)生驗算和估算的方法，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，以提高學(xué)生解題準(zhǔn)確率顯得尤為重要。通過簡單的估算，學(xué)生可以粗略地判斷一下自己的答案正確與否，這在一定的程度上提高了解題的正確率。
三、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，重視總結(jié)
建立模式、探索規(guī)律是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，也是自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的制勝法寶。百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用題千變?nèi)f化，但是萬變不離其宗。這“宗”指的就是“規(guī)律”。在教學(xué)的過程中，教師的作用就是要讓學(xué)生在不知不覺中發(fā)現(xiàn)“宗”跡，隨著教學(xué)的不斷深入，逐漸養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣和品質(zhì)。為此，我們要做好以下工作：
【例1】巴邱小學(xué)男生比女生多25%，那么女生比男生少百分之幾？
【分析與解】男生比女生多25%，是以女生為單位“1”；女生比男生少百分之幾，則是以男生為單位“1”。設(shè)女生為“1”，則男生為“1+25%”，女生是男生的 “1鰨？+25%）”，所以女生比男生少 1 1鰨？+25%）=20%。
【注意】不少同學(xué)認(rèn)為男生比女生多25%，那么女生就比男生少25%，這是錯誤的。兩次比較的單位“1”不同，結(jié)果當(dāng)然不同。
二、注意理解題目中的關(guān)鍵詞
【例2】一臺洗衣機原價1320元，現(xiàn)在降低到1188元，比原價降低百分之幾？
【分析與解】降低到1188元，和原價相比，價格實際降低1320-1188=132（元）。
（1320-1188）？320？00%=0.1？00%=10%
所以，現(xiàn)在比原價降低10%。
【注意】有些同學(xué)以現(xiàn)價1188元除以原價1320元來計算降低百分之幾，就是因為沒有正確區(qū)分“降低”和“降低到”之間的不同。
三、找準(zhǔn)原價和售價
【例3】媽媽到家電城買某品牌電視機，如果打九折需要花3150元，那么打八折需要花多少元錢？
【分析與解】3150元是九折后的售價，而不是原價，應(yīng)先求出原價后再求八折后的售價。
3150？0%？0%=3500？0%=2800（元）
所以，打八折需要花2800元。
【注意】價格計算問題在百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中十分常見，同學(xué)們要多加練習(xí)，找準(zhǔn)原價和售價。
四、求百分率要找準(zhǔn)總量
【例4】巴邱小學(xué)組織師生植樹，所植的樹活了57棵，死了3棵，求植樹的死亡率是多少？
【分析與解】求死亡率應(yīng)該是求死亡棵數(shù)占總棵數(shù)的百分率，所以應(yīng)該是死亡棵樹和總棵數(shù)相除。
3鰨？7+3）？00%=0.05？00%=5%
所以，植樹的死亡率是5%。
【注意】求死亡率、成活率、出勤率、發(fā)芽率、及格率等都是求占總量的百分率。
江蘇 吳國和
【病例1】在一個棱長為6厘米的大正方體上，挖去一個棱長是2厘米的小正方體，剩下部分的表面積是多少平方厘米？
【病癥】6？？+2？？=232（平方厘米）
【診斷】出現(xiàn)此病癥的主要原因是考慮問題不周全。要求剩下部分的表面積，關(guān)鍵要看挖去的小正方體在什么部位，不同的挖法就會得到不同的結(jié)果。
如果從大正方體的一個面的中間去挖（如圖1），剩下部分的表面積跟原來的大正方體相比，表面積增加了四個“2？”的小正方形面。
如果從大正方體的一個角上去挖（如圖2），剩下部分的表面積跟原來的大正方體相比，表面積沒有發(fā)生變化。
如果從大正方體的一條棱上去挖（如圖3），剩下部分的表面積跟原來的大正方體相比，表面積增加了兩個“2？”的小正方形面。
【處方】剩下部分的表面積有三種情況：
（1）6？？+2？？=232（平方厘米）
（2）6？？=216（平方厘米）
2.進一步提高學(xué)生分析、比較、解答應(yīng)用題的能力，培養(yǎng)認(rèn)真審題的好習(xí)慣。
教學(xué)重點和難點
掌握求一個數(shù)比另一個數(shù)多(或少)百分之幾這類應(yīng)用題的分析方法;能夠正確地進行列式。
教學(xué)過程設(shè)計
(一)復(fù)習(xí)準(zhǔn)備
1.解答“一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾”用什么方法?(用除法)
2.解答“一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾”的應(yīng)用題，關(guān)鍵是什么?(找應(yīng)用題中的標(biāo)準(zhǔn)量，也就是單位“1”，誰是標(biāo)準(zhǔn)量，誰就做除數(shù)。)
3.口答，只列式不計算。(用投影出示)
(1)5是4的百分之幾?4是5的百分之幾?
(2)甲數(shù)是50，乙數(shù)是40，甲數(shù)比乙數(shù)多多少?甲數(shù)比乙數(shù)多的數(shù)是乙數(shù)的百分之幾?
(3)甲數(shù)是48，乙數(shù)是64，甲數(shù)比乙數(shù)少多少?甲數(shù)比乙數(shù)少的數(shù)是甲數(shù)的百分之幾?
4.板書應(yīng)用題。
一個鄉(xiāng)去年計劃造林12公頃，實際造林14公頃。實際造林是原計劃的百分之幾?
分析：通過讀題，在這道題中，誰是標(biāo)準(zhǔn)量?
你是從哪句話中找出來的?應(yīng)怎樣列式呢?
如果將這道題的問題變?yōu)椤皩嶋H造林比原計劃多百分之幾?”，應(yīng)該怎樣分析解答呢?這就是我們這節(jié)課要繼續(xù)研究的比較復(fù)雜的百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題。
板書課題：百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題
(二)學(xué)習(xí)新課
1.出示例3。
例3一個鄉(xiāng)去年計劃造林12公頃，實際造林14公頃。實際造林比原計劃多百分之幾?
(1)學(xué)生默讀題。
(2)例3與復(fù)習(xí)題4比較，有什么異同?
(兩道題條件相同，問題不同。)
問題不同在哪兒?
(復(fù)習(xí)題4求的是實際造林是計劃造林的百分之幾，例3是求實際造林比原計劃多百分之幾。)
教師在例3中用紅筆畫出“多”字。
(3)在這道題中，誰是單位“1”?是從哪句話中找到的?
教師用雙引號畫出單位“1”。
(4)求實際造林比原計劃造林多百分之幾是什么意思?學(xué)生分組討論。
(意思是：實際造林比原計劃多的公頃數(shù)是原計劃的百分之幾?)
板書：多的公頃數(shù)是計劃的百分之幾?
(5)根據(jù)多的公頃數(shù)是計劃的百分之幾這句話，怎樣列文字表達式?
板書：多的÷計劃的
(6)怎樣列式計算呢?
板書：
(14-12)÷12
=2÷12
≈0.167
=16.7%
答：實際造林比原計劃多16.7%。
問：14-12是在求什么?
問：為什么除以12，而不除以14呢?
(7)還有其它的解法嗎?(學(xué)生討論)
匯報討論結(jié)果：
板書：
14÷12-1
≈1.167-1
=0.167
=16.7%
答：實際造林比原計劃多16.7%。
問：14÷12得到的是什么?再減去1又得到什么?
2.把例3中的問題改為“原計劃造林比實際造林少百分之幾?”
問：你怎樣理解“原計劃造林比實際造林少百分之幾”這句話的?
問：誰做單位“1”?(實際公頃數(shù))
問：怎樣用文字算式表達?
板書：少的÷實際的
問：怎樣列式計算?
投影訂正：
(14-12)÷14
=2÷14
≈0.143
=14.3%
答：原計劃造林比實際造林少14.3%。
問：14-12得到什么?為什么再除以14呢?
問：還有不同的解法嗎?
板書：1-12÷14
問：為什么例3與改變后的題得數(shù)不同?(單位“1”不同。)
問：這兩道題有什么相同之處?(解題思路完全一樣。)
3.把例3的一個條件改變。
一個鄉(xiāng)去年計劃造林12公頃，實際造林比原計劃多2公頃。實際造林比原計劃多百分之幾?
(1)學(xué)生獨立思考解答。
(2)指名說解題思路。
(3)板書算式：
多的公頃數(shù)÷計劃的
2÷12≈0.167=16.7%
答：實際造林比原計劃多16.7%。
問：此題和例3相比較，哪兒相同，哪兒不同?(條件不同，問題相同，解題思路相同。)
4.把3題的問題稍作改變。
一個鄉(xiāng)去年計劃造林12公頃，實際造林比原計劃多2公頃。原計劃造林比實際造林少百分之幾?
(1)學(xué)生只列式不計算。
(2)說解題思路。
板書：少的÷實際的
2÷(12+2)
(三)課堂總結(jié)
今天我們學(xué)習(xí)了什么知識?解決這類題的關(guān)鍵是什么?
師述：今天我們學(xué)習(xí)了求一個數(shù)比另一個數(shù)多(或少)百分之幾的應(yīng)用題。解決這類題的關(guān)鍵就是要找準(zhǔn)單位“1”，然后根據(jù)問題列出文字算式來幫助大家列式計算。
(四)鞏固反饋
1.分析下面每個問題的含義，然后列出文字表達式。
(1)今年的產(chǎn)量比去年的產(chǎn)量增加了百分之幾?
(2)實際用電比計劃節(jié)約了百分之幾?
(3)十月份的利潤比九月份的利潤超過了百分之幾?
(4)1999年電視機的價格比1998年降低了百分之幾?
(5)現(xiàn)在生產(chǎn)一個零件的時間比原來縮短了百分之幾?
(6)第二季度的產(chǎn)值比第一季度提高了百分之幾?
(7)十一月份比十月份超額完成了百分之幾?
(8)男生人數(shù)比女生人數(shù)多百分之幾?
2.在練習(xí)本上只列式不計算。(投影出示)
(1)某校有男生500人，女生450人。男生比女生多百分之幾?
(2)某校有男生500人，女生450人。女生比男生少百分之幾?
(3)一種機器零件，成本從2.4元降低到0.8元。成本降低了百分之幾?
(4)某工廠計劃制造拖拉機550臺，比原計劃超額了50臺。超額了百分之幾?
3.判斷題。
解答分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的方法：（1）先找單位“1”，比、是、占后面的量一般就是單位“1”；（2）單位“1”已知用乘法，單位“1”未知用除法；（3）比單位“1”多，用1+幾分之幾，比單位“1”少，用1-幾分之幾；（4）畫線段圖分析題意，找具體數(shù)量的對應(yīng)分率。
以上方法簡單易懂，學(xué)生按照此方法，能快速解答分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，受益無窮。學(xué)生會從題中的關(guān)鍵句子中快速確定解題方法，成功的喜悅不言而喻！
下面我以最新版小學(xué)六年級數(shù)學(xué)書上的例題為例，分析我是怎樣引導(dǎo)學(xué)生分析題意、快速找到解題方法，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力的。
例1. 小明的體重是35千克，他的體重比爸爸的體重輕，小明爸爸的體重是多少千克？
教師這樣引導(dǎo)學(xué)生分析題意：教師：“題中哪句話是重點句？”學(xué)生：“比爸爸的體重輕”。教師：“誰是單位‘1’？單位‘1’已知還是未知？”學(xué)生：“爸爸的體重是單位‘1’，單位‘1’未知用除法?！苯處煟骸拜p就是比單位‘1’少，怎樣列式？”學(xué)生：“用（1-）?！?/p>
教師引導(dǎo)學(xué)生分三步分析題意，最后順利列出算式：35÷（1- ）=75（千克）。答：小明爸爸的體重是75千克。
“求一個數(shù)的幾分之幾（或百分之幾）是多少”；“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾（或百分之幾）是多少？”；“已知一個數(shù)的幾分之幾（或百分之幾）是多少，求這個數(shù)，”這三種類型是所有分?jǐn)?shù)（百分?jǐn)?shù)）應(yīng)用題的教學(xué)的根基，每個類型中都包含著三個基本要素：標(biāo)準(zhǔn)量（單位“1”對應(yīng)的量）、比較量（對應(yīng)分率不是單位“1”的量）、對應(yīng)分率（每個量都對應(yīng)著一個分率，標(biāo)準(zhǔn)量對應(yīng)的分率是單位“1”）。
要讓同學(xué)們區(qū)別比較量和標(biāo)準(zhǔn)量的關(guān)鍵是找準(zhǔn)單位1。在分率前面的量或是在“比”“是”“占”“等于”“相當(dāng)于”等詞后面的量就是標(biāo)準(zhǔn)量，例1 “甲是乙的25%”，“ 甲占乙的25% ”，“甲比乙多25%”，“乙的25%相當(dāng)于甲”等等題目，乙對應(yīng)的分率都是單位“1”，乙就稱為標(biāo)準(zhǔn)量，甲對應(yīng)的分率都不是單位“1”，所以每道題目中的甲都稱為比較量，每道題目中的甲也都對應(yīng)著不同的分率。教師要充分利用生活中的分?jǐn)?shù)（百分?jǐn)?shù)）例子，訓(xùn)練同學(xué)們識別標(biāo)準(zhǔn)量和比較量等基本要素，找準(zhǔn)單位“1”。
二、找關(guān)鍵句，畫分析圖
只有在學(xué)生掌握分?jǐn)?shù)（百分?jǐn)?shù)）應(yīng)用題的基本要素后，在閱讀分?jǐn)?shù)（百分?jǐn)?shù)）應(yīng)用題題目時才能找出關(guān)鍵句――含有分率的句子；再去分析哪個量是標(biāo)準(zhǔn)量，哪個量是比較量，用表格、線段圖、圖畫等圖形語言表示出來，我們把這圖形語言稱為分?jǐn)?shù)（百分?jǐn)?shù)）應(yīng)用題的分析圖，它能直觀地、具體地、形象地記錄或表達數(shù)量關(guān)系，因而在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有十分重要的作用，我們可以借助圖形語言培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。
例2：xx小學(xué)六年級男生30人，男生比女生少20%，女生多少人？這道題目中含有分率的句子是“男生比女生少20%”，也就是本道題目的關(guān)鍵句，為此引導(dǎo)學(xué)生畫分析圖如下：
要求學(xué)生根據(jù)分析圖能夠流利地說出各個比較量對應(yīng)的分率，以及每個分率對應(yīng)的比較量。同時，教師可以提供如下練習(xí)，讓學(xué)生熟練地畫出下列各題的分析圖，包括畫出隱藏條件，也就是說每道題目中都有“白兔、黑兔、黑白兔總數(shù)”這三個量。
1、白兔只數(shù)是黑兔的80%。
2、黑兔只數(shù)是白兔的125%。
3、白兔比黑兔少20%。
4、黑兔比白兔多25%。
5、黑兔只數(shù)是黑白兔總數(shù)的5/9。
6、白兔比黑兔少總數(shù)的1/9。
三、分析數(shù)量關(guān)系，代公式
根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的意義“求一個數(shù)的幾分之幾（或百分之幾）是多少，用乘法”，我們可以知道： “一個數(shù)”就是標(biāo)準(zhǔn)量，“多少”就是比較量，“幾分之幾也”就是“多少”這個比較量所對應(yīng)的分率，“多少”=“一個數(shù)”ד多少這個比較量對應(yīng)的分率”，可以概括起來為以下三個基本公式：
1、 比較量=標(biāo)準(zhǔn)量×比較量對應(yīng)分率
2、 標(biāo)準(zhǔn)量=比較量÷比較量對應(yīng)分率
3、 比較量對應(yīng)分率=比較量÷標(biāo)準(zhǔn)量
【中圖分類號】G623.5 【文獻標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）16-0093-02
緣起：錯例帶來的困惑
較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題復(fù)習(xí)是小學(xué)數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)教學(xué)的重難點之一，對于這塊內(nèi)容的復(fù)習(xí)，我們通過對三類分?jǐn)?shù)百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題結(jié)構(gòu)的梳理、比較、分析，學(xué)生通過復(fù)習(xí)，進一步明確了它們的結(jié)構(gòu)特點與數(shù)量關(guān)系后，進行了一系列的練習(xí)與拓展。自我感覺一切都在順理成章之中，不料在練習(xí)反饋中，一題在我看來很普通的題目錯誤率竟然高達70%以上。
某機關(guān)精簡后有工作人員143人，比原有工作人員少57人。少了百分之幾？
鑒于此，我對錯誤的同學(xué)進行了統(tǒng)計，其中有9%的同學(xué)列式為57÷143，列式為（143-57）÷143約占21%，列式為57÷（143-57）竟達40%。
面對這樣的困境，我陷入了沉思：問題究竟出在什么地方呢？
把脈：范式背后的偏失
為尋求問題的本源，查漏補缺，我對這一類較復(fù)雜的“求一個數(shù)比另一個數(shù)多或少百分之幾”的應(yīng)用題又出了類似的幾題讓學(xué)生們練習(xí)：
①5是4的百分之幾？4是5的百分之幾？5比4多百分之幾？4比5少百分之幾？
②六一班有男生23人，女生比男生少1人。女生是男生的百分之幾？
③一個工程隊原來每天修路2.4千米，現(xiàn)在每天修路3千米。增加了百分之幾？
④一種皮鞋現(xiàn)價每雙50元，比原價貴10元。提價了百分之幾？
練習(xí)后發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對第一題幾乎沒有問題，由此說明學(xué)生對此類題目的數(shù)量關(guān)系是清楚的。而其它三題的答題情況均不理想，其中以第四題最為突出，而此題與上面提到的那題基本類似。發(fā)現(xiàn)其他錯題也與此題有著本質(zhì)的類似，通過仔細(xì)的分析以及與學(xué)生的訪談、輔導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)主要有以下幾方面的偏失：
偏失之一：“比多比少”的概念缺陷引發(fā)認(rèn)知斷層
有將近40%的學(xué)生列式為57÷（143-57），分析其中的原因，發(fā)現(xiàn)關(guān)鍵在于學(xué)生原有知識出現(xiàn)了斷層，即二年級所學(xué)習(xí)的比多比少的概念至今還存在普遍的問題。從上面學(xué)生的答題情況看，發(fā)現(xiàn)對于順敘題的解答還算比較順利、正確的。一旦進入逆敘題，學(xué)生的錯誤率就突然增加，當(dāng)兩類練習(xí)題放在一起時，學(xué)生對比多比少的表征出現(xiàn)了明顯的混亂現(xiàn)象。以上現(xiàn)象反映了學(xué)生在經(jīng)歷比多比少的概念學(xué)習(xí)時，表象操作方面缺乏必要的感悟和練習(xí)，造成學(xué)生直接進入符號操作時引起認(rèn)知上的障礙，進而影響到后續(xù)的學(xué)習(xí)。
偏失之二：陌生信息的表征不清引發(fā)認(rèn)知困難
從上面一組的對比練習(xí)中還發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對知識表征的清晰度往往與他對信息的熟悉程度有關(guān)，即學(xué)生的陳述性知識表征不良也在很大程度上引起認(rèn)知困難。對熟悉的、能聯(lián)系學(xué)生已有知識和生活經(jīng)驗的問題情景學(xué)生能馬上進行信息的處理。但對于某一陌生知識的表征，學(xué)生表現(xiàn)出由于表征不清而導(dǎo)致認(rèn)知上的困難。上面一組練習(xí)題中，學(xué)生對于情境熟悉的幾題反應(yīng)快速，但對于情境離學(xué)生生活比較遠(yuǎn)的幾題，對學(xué)生的抽象性思維要求較高，結(jié)果往往使學(xué)生在學(xué)習(xí)中陷入死角而不能自拔。
偏失之三：認(rèn)知結(jié)構(gòu)的不夠完善引發(fā)抽象概括度不高
學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的不夠完善往往表現(xiàn)出對知識的抽象概括程度不高。例如就上面這類題而言，事實上涉及對兩個數(shù)量的雙重比較，而“比較”這一個概念就小學(xué)范圍的知識來講一般有兩種情況，一是兩數(shù)之差，一是兩數(shù)之商。無論從課堂還是課外的交談中，學(xué)生似乎都不甚了解“比多比少”就是求“兩個數(shù)的差”，換句話說，在學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中“差”作為“比多比少”的上位知識并沒有被學(xué)生體驗到，對于“商”的比較也有著同樣的情況。在學(xué)生初次學(xué)習(xí)比多比少時因為沒有深刻的體驗，造成了學(xué)生在學(xué)習(xí)百分?jǐn)?shù)時存在原有知識點缺乏的問題。
偏失之四：程序性知識的缺乏引發(fā)解題達不到自動化
學(xué)生似乎明明懂得怎樣解題，可很多時候都要教師的提問下才能解答出來呢？為什么學(xué)生單獨面對此類題目時就是不會解答呢？仔細(xì)想來，除了學(xué)生有一定的思維惰性外，其實更為本質(zhì)的是老師的提問等于為他提供了思考的路線，換句話來說，學(xué)生不知道從哪里開始，又從哪里結(jié)束。如果學(xué)生具有在面對問題情景時就知道怎么辦的程序性知識的話，那么學(xué)生就會感到成功解決之后的喜悅，一旦形成良性的反應(yīng)，學(xué)生的思考就會進入一種極佳的狀態(tài)。
偏失之五：錯誤認(rèn)知的“先入為主”引發(fā)認(rèn)知表征偏差
從這些錯例中很明顯可以看出，在學(xué)生頭腦中占優(yōu)勢興奮的知識點以“先入為主”的方式存在，事實上學(xué)生也根本沒有意識到這一點。很明顯，學(xué)生出現(xiàn)上述情況就是因為學(xué)生第一次在學(xué)習(xí)這部分知識時所形成的一種產(chǎn)生式知識結(jié)構(gòu)是看到降低肯定是減法，而這又正好符合學(xué)生大部分的生活經(jīng)驗，在頭腦中占有優(yōu)勢興奮地位。雖然教師在課堂中進行反復(fù)的強調(diào)，但由于在后續(xù)的學(xué)習(xí)中沒有得到有效的順應(yīng)，沒能進行知識的重建，因此當(dāng)學(xué)生以后碰到類似的問題時，還是會按照原有的興奮程度高的解題策略進行解題。
策略：認(rèn)知網(wǎng)線的補救
根據(jù)診斷、分析，我們找到了學(xué)生出現(xiàn)錯誤的原因，又根據(jù)學(xué)生的實際情況，從關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知狀態(tài)入手，主要采取了以下幾種輔導(dǎo)補救策略：
一、關(guān)注信息表征――注重方法
（一）讀題訓(xùn)練
應(yīng)用題實際上是用精煉的語言文字把現(xiàn)實生活中的數(shù)學(xué)問題闡述出來，然后讓學(xué)生運用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識去解決這些問題的學(xué)習(xí)形式。既然是通過語言文字來呈現(xiàn)問題，那么學(xué)生個人的閱讀能力將直接影響到學(xué)生對題目的理解程度，由此可見數(shù)學(xué)閱讀對于解決問題具有重要作用。我曾做過好幾次試驗，學(xué)生產(chǎn)生錯誤后，教師根本沒有作指導(dǎo)，只是讓學(xué)生一遍又一遍地讀題，邊讀邊想，如甲比乙多幾，如何求甲或乙；要求學(xué)生把諸如降低了百分之幾的縮略語完整地表達出來。每次讀好之后，教師緊跟著追問一句：“你讀出來么？你讀懂了嗎？”。結(jié)果有70%的學(xué)生都能將題目正確解答出來。因此解決這類問題最基本的策略是多讀幾遍，指導(dǎo)學(xué)生通過朗讀達成理解，就是為了讓問題情景在大腦的短時記憶中更穩(wěn)定、更清晰、更熟練一些，這樣就更容易實現(xiàn)解決問題的頓悟。
（二）簡化信息
心理學(xué)表明：一個人的短時記憶空間是有限的。作為教師應(yīng)該有意識地引導(dǎo)學(xué)生對信息進行有效的簡約化，培養(yǎng)學(xué)生由外化進入簡約的內(nèi)化處理能力。這時教師可以幫助學(xué)生利用外部工具來解決問題，如把需要加工的信息內(nèi)容寫在紙上，采用表征簡化、示意圖、代表性符號等有效的策略幫助學(xué)生減輕記憶的負(fù)擔(dān)，使得短時記憶的空間得到充分地利用。
例如：我國可吃的植物有2000種（以上），相當(dāng)于歐洲和美洲總數(shù)的200%等一些長句。經(jīng)常發(fā)現(xiàn)學(xué)生讀完題時，記住了后面的又忘了前面，因此我訓(xùn)練學(xué)生將表現(xiàn)數(shù)量關(guān)系的句子簡縮成：我國是歐美的200%。
這樣的訓(xùn)練使得學(xué)生的短時記憶得到充分的利用，信息表征也顯得清晰穩(wěn)定，可以幫助學(xué)生把問題中簡化了的成份補述出來，或把內(nèi)隱的意思表述出來，成為外顯的條件，使之更具體、明確，為學(xué)生正確分析數(shù)量關(guān)系打下堅實的基礎(chǔ)，有效提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。
二、重構(gòu)認(rèn)知過程――夯實基礎(chǔ)
上述分析時曾經(jīng)提到學(xué)生以前一直使用的（即使是錯誤的）解題方法具有先入為主的優(yōu)勢，因為它是長期以來養(yǎng)成的一種思維習(xí)慣。要徹底糾正學(xué)生的這個有害思維習(xí)慣，就必須把后來獲得的這個新的解題思維方法變成在優(yōu)勢興奮水平上高于原來思維的、更容易被優(yōu)先激活的知識，或者更確切地說就是幫助學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。
（一）依據(jù)年齡特點，建立形象化的認(rèn)知圖式
教師要引導(dǎo)學(xué)生借助于生活經(jīng)驗和數(shù)學(xué)知識之間相似性大的特點，將新知納入到原有的知識結(jié)構(gòu)中去，使學(xué)生的知識得以同化和順應(yīng)。例如在此類題的輔導(dǎo)中，有幾個學(xué)生不管怎樣認(rèn)真讀題，總是不能完整地對信息進行表征，如“精簡后比原有工作人員少了57人”。令人郁悶的是學(xué)生讀完題后總是認(rèn)為原有工作人員少，從而出現(xiàn)列式為57÷（143-57）之類的情況。
這樣的問題怎么解決呢？
我把這幾個小家伙叫到身邊：“我們來做一個游戲，用比來說一句話，要求把話說完整，我先來，老師的年齡比你們大?！?/p>
小家伙們一聽有游戲做，勁頭馬上起來了。學(xué)生A馬上接口：“老師的頭發(fā)比我們卷?！?/p>
“不，應(yīng)該是你卷。”我故意這么說。
“不對。”學(xué)生A馬上給我糾正?！笆抢蠋熅??！?/p>
我笑了笑，不動聲色地繼續(xù)讓學(xué)生說下去。
“我的身材比老師的矮?！?“不，老師矮?！?/p>
老師的腿比我們長。”“不，你們的腿長。”……
小家伙們一聽急了，今天是怎么了，老師怎么總是出錯？我一看時機差不多了，拿出他們的作業(yè)。他們一看，撓了撓后腦勺，嘿嘿地笑了！
事實上，在學(xué)生的潛意識里已有的知識和生活經(jīng)驗存在著很隱蔽的相似關(guān)系，如果我們能夠意識到這一點，則我們的學(xué)習(xí)就變得機智巧妙，從而讓學(xué)生進行主動建構(gòu)，實現(xiàn)有意義的學(xué)習(xí)，這樣的有意義地學(xué)習(xí)就保證了知識在大腦中的相對優(yōu)勢權(quán)。
（二）及時概括整理，重構(gòu)完善的知識網(wǎng)絡(luò)
一般來說，概括程度高、經(jīng)過合理編碼的知識是具有優(yōu)先興奮權(quán)的，能夠進行居高臨下的遷移。這樣的學(xué)生在以后的學(xué)習(xí)中更能表現(xiàn)出分析問題和解決問題的敏捷性和正確性，表現(xiàn)出更高的解題智慧。
教師應(yīng)有意識地引導(dǎo)學(xué)生對所學(xué)的知識進行概括整理，例如此類題中涉及比較的知識結(jié)構(gòu)中，各知識點之間以及上下位的內(nèi)在聯(lián)系，差和商就是基于兩個數(shù)量比較的運算結(jié)果，而無論何種比較都需要尋找一個參照物（即平常所說的標(biāo)準(zhǔn)量）才能得出明確的結(jié)果，這一點對于這些學(xué)生來說體悟是不深的。這里的參照物、同樣多等概念就處于知識結(jié)構(gòu)的核心地位。教師在讓學(xué)生初次學(xué)習(xí)時就要引導(dǎo)學(xué)生反思平時生活中習(xí)以為常的生活經(jīng)驗，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察周圍的世界，完成對知識的重構(gòu)。
例如教師創(chuàng)設(shè)了這么個情景，接著老師聯(lián)系本班實際出示了一組發(fā)散性的練習(xí)：六（1）班男生23人，女生22人，我們可以怎樣對他們進行比較？
比較之后引導(dǎo)學(xué)生進行分類整理，學(xué)生很容易體會到由于參照物（標(biāo)準(zhǔn)量）的不同，比較結(jié)果也是不同的，這就培養(yǎng)了學(xué)生異中見同的能力，學(xué)生的智慧得到了升華。
三、融入情知因素――提升思維
（一）提供練習(xí)平臺，形成正確的認(rèn)知策略。
良好的認(rèn)知策略意味著學(xué)生碰倒一個問題情景時，能夠知道怎樣沿著一定的思路走下去，也就是說學(xué)生建構(gòu)的程序化知識應(yīng)該獲得自動化的熟練程度，這一方面需要為學(xué)生提供必要的、一定程度的練習(xí)平臺。尤其是一些學(xué)困生由于認(rèn)知能力差，往往不像優(yōu)秀生那樣做到舉一反三，可能更需要的是“舉十才知一”。另一方面則嘗試引導(dǎo)學(xué)生進行出聲思維的訓(xùn)練，來幫助學(xué)生形成必要的程序性知識。例如讓學(xué)生找出題目中表示數(shù)量關(guān)系的關(guān)鍵句，不完整的補充完整，并要求學(xué)生口答思維的過程。通過出聲思維的訓(xùn)練，逐步使得學(xué)生經(jīng)歷知識由外化到內(nèi)化的過程，培養(yǎng)學(xué)生在學(xué)習(xí)中學(xué)會自問自答，并隨時反省自己的解題過程和思路的正確性，從而實現(xiàn)最有效的學(xué)習(xí)――自我否定后的自我肯定。
（二）創(chuàng)設(shè)和諧平臺，體驗愉悅的學(xué)習(xí)情緒。
鞏固過程離不開訓(xùn)練?！皩?dǎo)，練”結(jié)合，注重口述解題思路與算理的訓(xùn)練，不僅縱向延伸，掌握關(guān)鍵，而且橫向比較，理清關(guān)系，選用題組形式更適合于復(fù)習(xí)中進行綜合訓(xùn)練，以使學(xué)生主動探索，合作交流，把主要精力放在分析比較數(shù)量關(guān)系及其結(jié)構(gòu)上，利于培養(yǎng)與提升學(xué)生的思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。選練一些新型習(xí)題，可發(fā)展學(xué)有余力學(xué)生的特長。
就這樣經(jīng)過一段時間的輔導(dǎo)，我重新對這些學(xué)生進行了此類百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題單獨的測試。從測試結(jié)果表明，雖然個別學(xué)生還是存在一些問題，但多數(shù)學(xué)生的成績有了很大的提高，值得高興的是對比多比少的問題的認(rèn)知障礙基本得以消除，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到明顯的改善，并獲得了一些較為扎實的解題策略，尤其可喜的是由于注重對學(xué)生的認(rèn)知情緒的培養(yǎng)，使得這些學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)重新樹立了信心，時不時能夠主動來到辦公室來問這問那，并自發(fā)自覺地思考一些數(shù)學(xué)問題，用新課程的理念來說，不僅獲得了知識技能、方法和過程，更是初步形成了良好的價值態(tài)度觀。
參考文獻：
教學(xué)是邏輯性較強、比較嚴(yán)密的一門學(xué)科，也是可以通過類似的題型找到規(guī)律總結(jié)出公式一門學(xué)科。只要學(xué)生掌握了公式或規(guī)律，學(xué)起數(shù)學(xué)來就輕而易舉。多年來，我以教學(xué)六年級上冊的《百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題》為例，淺談自己的幾種教學(xué)方法。
一、教學(xué)《百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用一》
例如：盒子有45厘米3的水，結(jié)合冰后冰的體積約為50厘米3，冰的體積約比原來的體積增加了百分之幾？
先利用畫圖來分析、理解題意，水的體積是單位“1”，冰的體積是“比較量”，冰和水比較，用冰的量減水的量，再求多出量占單位“1”的百分之幾？再用多出的量÷單位“1”。最后得出這樣的結(jié)論。如果要解決增加百分之幾或減少百分之幾的應(yīng)用題時，先在題中找準(zhǔn)單位“1”，單位“1”在“比”字后面，再找出“比較量”，然后用“﹙大數(shù)—小數(shù)﹚（大數(shù)和小數(shù)指的是單位“1”和比較量）÷單位“1”。這兩個量的差占單位“1”的百分率。像上面的應(yīng)用題可以直接運用規(guī)律。﹙50-45﹚÷45，50是比較大的數(shù)，45是比較小的數(shù)，45也就是單位“1”。這樣，只要學(xué)生在題目中找準(zhǔn)比較量和單位“1”，解決這類應(yīng)用題就容易多了。但如果遇到“比”字不明顯時，我們就要進行“擴句”?！皵U句”時就找準(zhǔn)了單位“1”。例如：電飯煲原價220元，現(xiàn)價160元，電飯煲的價格降低了百分之幾？這時就要進行擴句。電飯煲的現(xiàn)價比原價降低了百分之幾？這樣就找到了單位“1”，再用公式來解決。學(xué)生只要掌握了題的類型，能正確的運用公式，遇到類似的應(yīng)用題就迎刃而解。在數(shù)學(xué)教學(xué)中運用類比找規(guī)律的方法。
二、教學(xué)《百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用二》
例題：1997年至今，我國鐵路已經(jīng)進行了多次規(guī)模提速，有列火車，原來每時行駛80千米，提速后，這列火車的速度比原來增加了40%，現(xiàn)在這列火車每時行法多少多少千米？仍然用畫圖的方法理解題意。這道題與上面的例題相比，已知了增加的份率和單位“1”，而求的是比較量，也在“比”字后找單位“1”，根據(jù)題意先算單位“1”的40%，再用單位“1”=增加的量就求出了比較量，列式為：80+80×40%=80×（1+40%),最后找出規(guī)律。這類題型，已知了單位“1”，要求標(biāo)準(zhǔn)量，用乘法，用單位“1”×（1±份率），如果題中是增加就用“+”，題中是減少就用“-”。關(guān)鍵還要找準(zhǔn)單位“1”，像上面這個題直接用這個規(guī)律：列式80×（1+40%），通過教學(xué)后，學(xué)生對這類知識掌握的較快，都能解答此類的問題，解決問題很準(zhǔn)確。教學(xué)效果顯著。
三、教學(xué)《百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用三》
《百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用三》是兩種類型的應(yīng)用題，但具有共性，都是求單位“1”。教材中用方程來解決，我們也找到規(guī)律。
（一）例題：笑笑家1985年，食品支出總額占家庭總支出的65%，其他支出總額占家庭總支出的35%，1985年食品支出比其他支出多210元，你知道這個家庭的總支出是多少元嗎？先利用方程解決，
解：設(shè)這個家庭的總支出為X元
65%X-35%X=210
30%X=210
X=700
把方程轉(zhuǎn)換成算數(shù)方法，210÷（65%-35%）。
1.聽老師念應(yīng)用題，然后讓學(xué)生根據(jù)題意，分別說成一道文字題，再口答算式。
（1）某村去年造林20公頃，今年造林25公頃。 去年造林是今年和幾分之幾？
（2）某工程隊七月份修路20千米，八月份修路25千米。 七月份修路是八月份的百分之幾？
師：同學(xué)們想一想，這兩道題的算式為什么會一樣呢？
教師引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、比較、分析，明白“分?jǐn)?shù)應(yīng)用題”與“百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題”的解題思路和方法是相同 的。
2
2.討論題：有的同學(xué)認(rèn)為“3米比5米少─，也可以說成5米比3米多
5
2
─?！边@樣說對不對？為什么？
5
通過討論，讓學(xué)生明確：解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時， 關(guān)鍵要找準(zhǔn)單位“1”的量，要分清楚是哪個數(shù)量與哪個數(shù) 量相比較。
3.補題導(dǎo)入。
教師出示一道不完整的應(yīng)用題：“一個鄉(xiāng)去年原計劃造林12公頃，實際造林14公頃?！币髮W(xué)生想一想： 根據(jù)題中的已知條件，可以提出哪些求百分之幾的問題？
學(xué)生可能提出很多個問題，教師選擇“實際造林比原計劃多百分之幾？”的問題，變成例3。然后揭示課題 。
〔注析：這個數(shù)學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)計，具有“活、實、 趣”的特點：（1）聽題答題，形式活潑；（2）誘導(dǎo)討論 ，訓(xùn)練落實；（3）補題導(dǎo)入，新穎有趣?！?/p>
二、學(xué)習(xí)新知
1.明確目標(biāo)。
師：看到例題和課題，同學(xué)們想一想，議一議，這堂課我們要學(xué)習(xí)哪些內(nèi)容？達到什么要求呢？
歸納學(xué)生的回答，展示學(xué)習(xí)目標(biāo)。（略）
2.自學(xué)新知。
師：（指著例3）怎樣解答這道題呢？請大家邊看課本例3的解法，邊思考以下幾個問題：（1）從問題看，
是哪個數(shù)量和哪個數(shù)量相比較：應(yīng)當(dāng)把哪個數(shù)量看作單位“1”？（2）求實際造林比原計劃多百分之幾，就是 求什么數(shù)量占什么數(shù)量的百分之幾？應(yīng)該先求什么？再求什么？
〔注析：培養(yǎng)學(xué)生自學(xué)能力是為學(xué)生今后的“自我發(fā)展”打好基礎(chǔ)。但自學(xué)能力的培養(yǎng)要講究策略，要做 到主導(dǎo)性和主體性相統(tǒng)一。讓學(xué)生自學(xué)課本，從課本中自主探究，獲取知識，這是學(xué)生自主學(xué)習(xí)的重要形式， 突出了主體地位。思考題的設(shè)計體現(xiàn)了教師主導(dǎo)的必要性。〕
3.啟導(dǎo)理解。
（1）師生共同作例3的線段圖，并讓學(xué)生在線段圖上指出“多”的部分是（14—12）公頃。
（2）指名回答自學(xué)思考題， 著重啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生理解：“求實際造林比原計劃多百分之幾？”列成關(guān)系式 是：多的公頃數(shù)÷原計劃的公頃數(shù)＝所求。
（3）根據(jù)以上分析，啟發(fā)學(xué)生列出算式（指名口頭列式， 教師板書）。
〔注析：“學(xué)導(dǎo)式”中的“啟導(dǎo)理解”有別于傳統(tǒng)教學(xué)方法的教師主宰講解。它要求教師必須采用啟發(fā)式 進行教學(xué)，要充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性作用，讓學(xué)生主動參與感知、探究、理解、內(nèi)化的學(xué)習(xí)過程。在學(xué)生 感知應(yīng)用題內(nèi)容的基礎(chǔ)上，畫出線段圖，再探究解題的關(guān)鍵，理解數(shù)量關(guān)系，把內(nèi)化的解題思路與方法外化為 解題算式，這教學(xué)軌道吻合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律?！?/p>
4.質(zhì)疑問難。（如果有些問題學(xué)生沒提出來，教師也可自我設(shè)問挑疑，將學(xué)習(xí)引向深入。）
（1）這道題還有其他解法嗎？
指導(dǎo)學(xué)生看分析圖，討論新的解題思路。算式：14÷12－1≈1.167－1＝0.167＝16.7％。
（2）如果把例3中的問題改成“原計劃造林比實際造林少百分之幾”，該怎樣解答？
先引導(dǎo)學(xué)生從問題看，思考是哪兩個量比較？把誰看作單位“1 ”？（可讓學(xué)生遷移運用學(xué)習(xí)例3時的方法 ， 教師要特別注意學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)。）
（3）學(xué)生有可能還提出以下一些疑問：例3第2種解法中的“14 ÷12表示什么？“1”表示什么？“1”能 不能寫成100％？ 怎樣正確使用“約等于號”和“等于號”等問題，教師可根據(jù)實際情況，靈活釋疑，既可以 由教師直接解疑也可以讓學(xué)生互相解疑。
〔注析：質(zhì)疑問難能力是學(xué)生文化科學(xué)素質(zhì)、心理素質(zhì)的綜合反映，培養(yǎng)學(xué)生質(zhì)疑問難能力是素質(zhì)教育的 需要，是“學(xué)導(dǎo)式”教學(xué)法的一個著力點。這里并不拘泥于“學(xué)導(dǎo)式”的教學(xué)程序，而是根據(jù)教材編排特點和 認(rèn)知規(guī)律，靈活調(diào)換教學(xué)步驟，將“質(zhì)疑問難”放在“啟導(dǎo)理解”之后，既便于引出其他解法，又有利于根據(jù) 學(xué)生的差異性調(diào)整、補充、修正教學(xué)思路?！?/p>
5.歸納學(xué)法。
（1）引導(dǎo)學(xué)生將例3的第一種解法和改變問題后的第一種解法進行比較。異同點在什么地方？為什么除數(shù) 不一樣？
（2）通過學(xué)生討論， 歸納出求一個數(shù)比另一個數(shù)多（或少）百分之幾的應(yīng)用題的一般步驟：①認(rèn)真審題 ，分清題中的已知條件和問題，弄清數(shù)量關(guān)系；②抓住問題，知道什么數(shù)量和什么數(shù)量相比較；③把哪個數(shù)量 看作單位“1”（作除數(shù)）， 把哪個數(shù)量看作比較量（作被除數(shù)）；④懂得應(yīng)先求什么，再求什么？列式解答 。
〔注析：重視學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)，是“學(xué)導(dǎo)式”教學(xué)法的一個精髓。這個教學(xué)步驟意在教會學(xué)生主動獲取知識 的技能和方法，使學(xué)生能夠適應(yīng)未來社會發(fā)展的需要?！?/p>
三、遷移練習(xí)
1.完成第31頁的“做一做”。
2.完成練習(xí)九第1、2題。
訂正時，要求學(xué)生說出解題思路和方法。
〔注析：“學(xué)導(dǎo)式”教學(xué)法重視發(fā)揮課本習(xí)題的導(dǎo)向作用。這個教學(xué)環(huán)節(jié)體現(xiàn)面向全體學(xué)生，著眼基礎(chǔ)知 識的全面掌握，是帶有普遍意義的基本練習(xí)和應(yīng)用。〕
四、深化應(yīng)用
1.比一比，看誰提的問題（百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題）多，又能正確解答。
電視機廠五月份生產(chǎn)電視機4000 臺， 比六月份少生產(chǎn)1000 臺。_____________？
2.根據(jù)算式“（25－20）÷25”，編分?jǐn)?shù)應(yīng)用題與百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題各1題。（對優(yōu)等生要求獨立編題，中差生 可以參照鋪墊題第1題編題。）
〔注析：這個教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)計體現(xiàn)因材施教和差異教育的特性，使不同層次的學(xué)生都能獲得成功感，努力 使不同層次的學(xué)生都能達到各自的最佳發(fā)展水平?！?/p>
五、課堂總結(jié)
1.對照學(xué)習(xí)目標(biāo)，回顧本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容。
2.比較鋪墊題第1題和深化應(yīng)用的第2題的異同。尋找分?jǐn)?shù)應(yīng)用題和百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的內(nèi)在聯(lián)系，歸納整理知 識系統(tǒng)：分?jǐn)?shù)應(yīng)用題與百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題解題的相同點：①數(shù)量關(guān)系相同；②解題思路一樣；③解答方法相似。不 同點：計算結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示，或用百分?jǐn)?shù)表示。
分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中含有分率、百分率的句子是解題的關(guān)鍵句。但在實際題目中，很多含有分率、百分率的句子都是不完整的。因此，我們在教學(xué)時要根據(jù)上下句的聯(lián)系，進行補敘、推理訓(xùn)練，并列出關(guān)系式。如：“十月份超產(chǎn)了20%，九月份生產(chǎn)多少臺電視機？”可引導(dǎo)學(xué)生補充：十月份比九月份超產(chǎn)了20%，十月份超產(chǎn)的是九月份的20%，從而列出關(guān)系式：十月份生產(chǎn)的臺數(shù)=九月份的臺數(shù)+九月份的臺數(shù)×20%。
二、重視單位“1”的量的判斷訓(xùn)練
借助分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題單位1的量的判斷，能夠讓學(xué)生找到解題的方法和途徑。教學(xué)時，經(jīng)常指導(dǎo)學(xué)生找出題中單位1的量，看看單位1的量是否已知：單位“1”的量已知用乘法計算；單位“1”的量未知用除法計算。
三、重視題型分類對比訓(xùn)練
分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題一般分為三個類型：一是求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾（百）分之幾？二是求一個數(shù)的幾（百）分之幾是多少？三是已知一個數(shù)的幾（百）分之幾是多少，求這個數(shù)是多少？每一類題型中又分三個類型，教師要由淺入深地對學(xué)生加以訓(xùn)練。如求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾（百）分之幾？就有：（1）求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾（百）分之幾？這是最簡單的。（2）求一個數(shù)比另一個數(shù)多幾（百）分之幾？（3）求一個數(shù)比另一個數(shù)少幾（百）分之幾？這兩類是比較復(fù)雜的。
四、加強易混題型的對比訓(xùn)練
對于容易混淆的內(nèi)容，要有意識地設(shè)計一些似是而非的變式題組讓學(xué)生練習(xí)、比較，分析它們的細(xì)微差別，從而掌握解題規(guī)律。如：
1.比25噸少噸的數(shù)是多少？
