序論：好文章的創(chuàng)作是一個不斷探索和完善的過程，我們?yōu)槟扑]一篇小初數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)連續(xù)性培養(yǎng)研究范例，希望它們能助您一臂之力，提升您的閱讀品質(zhì)，帶來更深刻的閱讀感受。

我國義務(wù)教育法將義務(wù)教育分為初等教育和初級中等教育兩個階段。由于身心發(fā)展的需要，學(xué)生在接受義務(wù)教育的過程中，需分別進入小學(xué)與初中進行學(xué)習(xí)，實際上這二者的教育教學(xué)是存在連續(xù)性的。因此，如果小學(xué)教師和初中教師缺乏對學(xué)生進行數(shù)學(xué)思維和學(xué)習(xí)方法上的連續(xù)性指導(dǎo)，學(xué)生很難快速轉(zhuǎn)變思維習(xí)慣和學(xué)習(xí)方法，以致難以適應(yīng)初中的學(xué)習(xí)與生活。因此，如何做好學(xué)生小學(xué)到初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的穩(wěn)定過渡，是中小學(xué)教師面臨的考驗。當(dāng)前,關(guān)于小初數(shù)學(xué)銜接問題的研究多側(cè)重于對初中教師教學(xué)策略給出建議[1-4]，而關(guān)于小學(xué)數(shù)學(xué)教師教學(xué)建議的研究比較少。因此，本文通過對比《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標(biāo)”）小學(xué)階段與初中階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)表現(xiàn)的同異，給出小學(xué)數(shù)學(xué)教師在小初數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)連續(xù)性和進階性培養(yǎng)上的幾點建議。

一、小初數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)表現(xiàn)的聯(lián)系與差異

與2011年版課標(biāo)相比，2022年版課標(biāo)中明確給出了義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的構(gòu)成，即數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)學(xué)生會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，要培養(yǎng)學(xué)生會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，要培養(yǎng)學(xué)生會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界。2022年版課標(biāo)中分別給出了小學(xué)、初中核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)及內(nèi)涵。小學(xué)階段的核心素養(yǎng)表現(xiàn)為：數(shù)感、量感、符號意識、運算能力、幾何直觀、空間觀念、推理意識、數(shù)據(jù)意識、模型意識、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，這11個詞分為感覺、能力、觀念和意識四個層次；初中階段的核心素養(yǎng)表現(xiàn)為：抽象能力、運算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、數(shù)據(jù)觀念、模型觀念、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，這9個詞分為能力、觀念和意識三個層次。可以看出，小學(xué)階段和初中階段有6個相同的核心素養(yǎng)表現(xiàn)：抽象能力、運算能力、幾何直觀、空間觀念、應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識。剩余的核心素養(yǎng)表現(xiàn)如數(shù)據(jù)意識、數(shù)據(jù)觀念等，雖不完全相同，卻存在遞進關(guān)系，這也說明小初階段教師應(yīng)在課標(biāo)的指導(dǎo)下對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)進行連續(xù)性和進階性培養(yǎng)。與小學(xué)階段相比，初中階段雖然看上去少了感覺層次的表現(xiàn)，但實際上是因為學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展后，感覺層面的表現(xiàn)發(fā)展為能力層面，而這也是本文研究的重點。

二、關(guān)聯(lián)小初素養(yǎng)表現(xiàn)，實現(xiàn)連續(xù)進階培養(yǎng)

1.重視運算能力，完成平穩(wěn)過渡

在小學(xué)階段的核心素養(yǎng)表現(xiàn)中，能力層面的要求只有一個，即運算能力，并且運算能力也是初中需要繼續(xù)培養(yǎng)的重要數(shù)學(xué)能力。此外，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中提到的高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的6個主要表現(xiàn)里依然有數(shù)學(xué)運算。因此可以說，運算能力的培養(yǎng)貫穿學(xué)生整個初等、中等教育階段的數(shù)學(xué)教學(xué)。以人教版初中數(shù)學(xué)教材為例，七年級上冊共4章內(nèi)容，與運算直接相關(guān)的章節(jié)有3章；七年級下冊共6章內(nèi)容，與運算直接相關(guān)的章節(jié)共4章。七年級作為小初銜接的關(guān)鍵時期，共10章的學(xué)習(xí)內(nèi)容中，要求學(xué)生具備一定運算能力的內(nèi)容占了70%。這種情況在八、九年級的學(xué)習(xí)中依然有所體現(xiàn)。這是因為除了代數(shù)部分的相關(guān)學(xué)習(xí)內(nèi)容，初中幾何學(xué)習(xí)中也蘊含著大量計算內(nèi)容。可以說，學(xué)生在初中學(xué)習(xí)的每一步都需要一定運算能力的支持，而初中運算的每一步也都是小學(xué)知識的再接力。如學(xué)生在八年級下學(xué)期學(xué)習(xí)二次根式的時候，常常會犯這樣一個錯誤：941=321。出現(xiàn)這個問題的原因在于學(xué)生對帶分?jǐn)?shù)理解的錯誤，9和41之間應(yīng)為加法關(guān)系而不是乘法。學(xué)生學(xué)習(xí)了整式及實數(shù)后，規(guī)范書寫像2a、22這樣的乘法關(guān)系需省略乘號，再加上初中對分?jǐn)?shù)的表示中使用帶分?jǐn)?shù)和小數(shù)的形式并不多，就會導(dǎo)致學(xué)生遇見帶分?jǐn)?shù)時容易出現(xiàn)概念混淆，認(rèn)為帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)部分和真分?jǐn)?shù)部分之間也是乘法關(guān)系。由于小初階段所學(xué)知識聯(lián)系緊密，尤其是初中階段的學(xué)習(xí)對數(shù)域進行了多次擴充，但仍保持了原有的運算法則及運算律。因此，小學(xué)階段學(xué)生運算能力的高低將直接對初中的進一步學(xué)習(xí)產(chǎn)生影響。由此可見，培養(yǎng)學(xué)生的運算能力是形成小學(xué)階段數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵，也是初中階段教學(xué)的重中之重，更是幫助學(xué)生平穩(wěn)進行小初銜接的關(guān)鍵所在。

2.滲透抽象思維，引領(lǐng)學(xué)習(xí)蛻變

初中核心素養(yǎng)表現(xiàn)中的抽象能力實際上是小學(xué)核心素養(yǎng)表現(xiàn)中的數(shù)感、量感和符號意識的再發(fā)展。學(xué)生進入初中后第一次感覺數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難，是在學(xué)習(xí)第二章“整式的加減”的時候。這是因為從這一章開始，初中的運算和小學(xué)運算產(chǎn)生了質(zhì)的變化——運算的對象由數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)樽帜?。字母的運算其實與數(shù)的運算具有一致性，即原有的運算法則和運算性質(zhì)均得以保持，不發(fā)生改變。但對學(xué)生而言，他們覺得數(shù)學(xué)開始脫離實際生活，產(chǎn)生了初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的第一次危機，這其實就是抽象能力不足導(dǎo)致的。在人教版一年級上冊第一課“準(zhǔn)備課”的教學(xué)內(nèi)容中，學(xué)生需經(jīng)歷由看到生活中的事物聯(lián)想到個數(shù)的過程，這其實就是通過對現(xiàn)實世界的觀察和感知抽象出表示的符號——數(shù)字。由現(xiàn)實事物到數(shù)的抽象遠(yuǎn)比由數(shù)到字母的抽象難度大，但為什么小學(xué)生沒有在上第一節(jié)數(shù)學(xué)課時覺得學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)困難呢？原因在于，大部分學(xué)生在上小學(xué)之前已經(jīng)學(xué)會了數(shù)數(shù)，因此學(xué)生走入課堂再次學(xué)習(xí)時，會感覺數(shù)的產(chǎn)生是一件很自然的事情，但他們并沒有體會也沒有體驗到由物到數(shù)這一抽象的過程。以此為例，小學(xué)學(xué)習(xí)過程中并不缺乏抽象思維。但如果教師在教學(xué)過程中未能進行及時點撥，而學(xué)生又習(xí)慣了接受式的學(xué)習(xí)，那么學(xué)生將長期缺乏對抽象的思考，很難體會到數(shù)學(xué)的本質(zhì)是抽象。到了初中，學(xué)生需要從抽象的事物中再抽象，學(xué)習(xí)內(nèi)容脫離生活實際時，就會產(chǎn)生學(xué)習(xí)困難。因此，教師在教學(xué)過程中，尤其是對小學(xué)高年級學(xué)生而言，隨著認(rèn)知的增長，可以在教學(xué)過程中適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生思考，發(fā)現(xiàn)數(shù)和運算是數(shù)學(xué)抽象、點線面是數(shù)學(xué)抽象、運動變換也是數(shù)學(xué)抽象……讓學(xué)生逐漸產(chǎn)生數(shù)學(xué)的本質(zhì)就是抽象這一意識。還有一點值得教師關(guān)注的是符號意識，數(shù)學(xué)語言最大的特點是具有簡潔性，而簡潔性是符號給予的。用符號表示數(shù)量、表示圖形其實也是一種抽象，因此，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)符號的時候，也可以培養(yǎng)學(xué)生抽象思維。其實這一過程就是我們說的，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看現(xiàn)實世界，并在學(xué)習(xí)過程中逐步建立了一個抽象的新世界，即數(shù)學(xué)的世界。

3.關(guān)注推理過程，建立邏輯關(guān)系

小學(xué)核心素養(yǎng)表現(xiàn)中的推理意識和符號意識再發(fā)展后成為初中核心素養(yǎng)表現(xiàn)中的推理能力。推理能力是最能體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的一種能力，在小學(xué)學(xué)習(xí)中逐步形成，到初中后強化提升。推理能力可以幫助學(xué)生形成重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)，培養(yǎng)他們的科學(xué)態(tài)度與理性精神，也就是我們說的用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界。在小學(xué)教學(xué)過程中，哪些地方可以培養(yǎng)學(xué)生的推理意識呢？筆者覺得最好的機會在尺規(guī)作圖上。現(xiàn)階段人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中雖然沒有明確給出尺規(guī)作圖的概念，但存在一些相關(guān)的教學(xué)活動，如利用圓規(guī)和直尺設(shè)計美麗的圖案等。用直尺和圓規(guī)作圖可以引導(dǎo)學(xué)生把頭腦中想象的圖形數(shù)學(xué)表達出來，這不僅有利于學(xué)生認(rèn)識和理解幾何概念，也有利于學(xué)生建立幾何直觀，增強空間想象力和推理意識[5]。尺規(guī)作圖容易被教師歸為程序類或者操作類問題，這是因為基本尺規(guī)作圖都是由一系列具體操作步驟構(gòu)成的，學(xué)生只要按步驟操作一定能畫出圖形來，因此單純的尺規(guī)作圖可以歸為程序類知識。實際上，尺規(guī)作圖的步驟是有嚴(yán)格順序的，這樣就存在邏輯關(guān)系，而每一步驟操作又都有其目的且存在作圖依據(jù)，因此只要對每一步操作追問一個為什么，連起來就構(gòu)成了一個嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评?。所以，尺?guī)作圖的學(xué)習(xí)是幫助學(xué)生理解圖形的生成過程、應(yīng)用圖形性質(zhì)、發(fā)展推理能力的重要手段之一。在2022年版課程標(biāo)準(zhǔn)中，初中階段的基本尺規(guī)作圖由5種增至6種，新增過圓外一點做圓的切線。更大的改變是小學(xué)階段也增加了尺規(guī)作圖：在第二學(xué)段的學(xué)習(xí)中，學(xué)生需經(jīng)歷“用直尺和圓規(guī)作給定線段的等長線段，將三角形的三條邊畫到一條直線上”的過程，直觀感受三角形的周長以及線段長度的可加性。第三學(xué)段的學(xué)習(xí)中，學(xué)生需經(jīng)歷基于給定線段用直尺和圓規(guī)畫三角形的過程，探索三角形任意兩邊之和大于第三邊，并說出其中的道理。教師在教學(xué)過程中，除了注重作圖過程外，更應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生思考作圖依據(jù)。比如，學(xué)生在學(xué)會作給定線段的等長線段后，可以拓展學(xué)習(xí)作給定線段為邊長的等邊三角形。按步驟學(xué)生很容易畫出一個邊長與已知線段相等的等邊三角形，如圖1。這一尺規(guī)作圖操作步驟少且簡潔，但是每一步都含有作圖依據(jù)，且不可以改變作圖順序。比如為什么第一步做射線l，這里蘊含了一個任意性，射線位置是可以任意選取的，由于構(gòu)造的三角形中有兩個點在這條射線上，因此射線位置的任意性導(dǎo)致了隨后構(gòu)造的等邊三角形位置的任意性。第二步：以A為圓心，a長為半徑構(gòu)造圓。作圖目的是確定三角形的第二個頂點B的位置，作圖依據(jù)是圓的半徑相等，構(gòu)造AB長使其與已知線段a長相等。這一步還有一個隱藏作圖目的，在為點C的確定做準(zhǔn)備，因為等邊三角形三邊相等，所以點C也在⊙A上。但此時C是運動的、不確定的，因此有了第三步：以B為圓心，a長為半徑構(gòu)造圓，作圖目的是確定C點位置，作圖依據(jù)是等邊三角形三邊相等及圓的半徑相等，因此點C既在⊙A也在⊙B上，則點C為兩圓的交點。兩圓交點有兩個，根據(jù)軸對稱性，選一個即可。最后一步：連接線段，構(gòu)造三角形。通過這個例子就可以看出，尺規(guī)作圖的學(xué)習(xí)與研究可以幫助學(xué)生培養(yǎng)推理意識，因此建議教師在教學(xué)過程中不僅需注重圖形生成過程，更要引導(dǎo)學(xué)生分析作圖目的，理解作圖依據(jù)。當(dāng)然，僅憑新添的兩個尺規(guī)作圖來培養(yǎng)學(xué)生的推理意識是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，教師還可以在教學(xué)過程中，簡化作圖改為畫圖，區(qū)別在于學(xué)生可以應(yīng)用有刻度的直尺還有量角器、三角板等常用數(shù)學(xué)工具。比如，用三角板畫出一個長5cm寬4cm的長方形；使用三角板和圓規(guī)畫一個邊長為10cm和6cm的等腰三角形，看一看可以畫幾個等等。這樣對各個學(xué)段的學(xué)生都可以設(shè)計一些畫圖活動，并說一說畫圖每一步的目的及依據(jù)，提升學(xué)生的推理意識。

4.增強應(yīng)用意識，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

初中階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)表現(xiàn)中的數(shù)據(jù)觀念、模型觀念和應(yīng)用意識這三個詞語在小學(xué)階段都是意識層面的。意識與觀念的區(qū)別在于，意識是基于經(jīng)驗的感悟，觀念是基于概念的理解。既然意識是經(jīng)驗的感悟，就需要學(xué)生真正經(jīng)歷過，積累了經(jīng)驗后，才能有所感悟。這也就是如何培養(yǎng)學(xué)生會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界。七年級下冊最后一章為“數(shù)據(jù)的收集、整理與描述”。學(xué)完該章后，教師可以在暑假布置一個數(shù)學(xué)活動：學(xué)生自由分組，自擬調(diào)查題目，設(shè)計系列問題，構(gòu)成調(diào)查問卷，進行一次抽樣調(diào)查。學(xué)生需要發(fā)放調(diào)查問卷，收集數(shù)據(jù)，然后進行整理工作，最后使用統(tǒng)計圖表進行數(shù)據(jù)的描述，完成一份調(diào)查報告。其實數(shù)據(jù)的收集與整理在小學(xué)低年級就已經(jīng)開始學(xué)習(xí)了，學(xué)習(xí)的內(nèi)容和初中也很接近，區(qū)別在于調(diào)查的內(nèi)容較為簡單，調(diào)查問卷以單題形式出現(xiàn)。因此，在小學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)的收集與整理時，也可以設(shè)計一些類似初一學(xué)生進行的實際應(yīng)用類的數(shù)學(xué)活動。教師可以提前準(zhǔn)備一些關(guān)于學(xué)校或者班級等主題的調(diào)查問題，供部分學(xué)生選擇，對能力較強的學(xué)生，可以指導(dǎo)學(xué)生自擬調(diào)查問題。讓學(xué)生真正經(jīng)歷數(shù)據(jù)的收集與整理過程。此外，教師還可以通過信息技術(shù)的使用，將學(xué)生整理的數(shù)據(jù)進行保存。等到后續(xù)學(xué)習(xí)條形圖、扇形圖等知識的時候，將低年級時收集的數(shù)據(jù)調(diào)出來接著深入研究，以提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高知識的應(yīng)用性。這種實際應(yīng)用活動也不局限于統(tǒng)計，在其他知識的學(xué)習(xí)當(dāng)中也可以存在，比如在學(xué)習(xí)測量時，可以以小組為單位，測量校內(nèi)一些常見物品的長度和重量等。這樣,學(xué)生不僅可以將教材中的知識進行實際應(yīng)用，更可以用學(xué)過的知識和方法解決生活中的問題。學(xué)生有了活動經(jīng)驗，將所學(xué)用于生活，又在生活中再次學(xué)習(xí)，不僅對知識有了自己的加工和重新認(rèn)知，更可以獲得學(xué)習(xí)的成就感。在豐富多彩的學(xué)習(xí)實踐中形成模型觀念，發(fā)展應(yīng)用意識。

三、回歸教材，探尋聯(lián)系

2022年版課標(biāo)中明確指出，數(shù)學(xué)教材為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動提供了學(xué)習(xí)主題、知識結(jié)構(gòu)和基本線索，是實現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、實施數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源。教師想要在教學(xué)中逐步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，做好小初階段學(xué)生的連續(xù)性培養(yǎng)工作，應(yīng)盡可能做到熟悉小學(xué)和初中階段的教材，對小初教學(xué)內(nèi)容的異同有一定的了解。通過比較小學(xué)教材和初中教材目錄不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在兩個階段所研究的大部分?jǐn)?shù)學(xué)對象是重復(fù)的，但是隨著學(xué)生年齡的變化，認(rèn)知能力和學(xué)習(xí)能力得以發(fā)展，教材中對同一數(shù)學(xué)對象的研究角度以及研究深度有了變化，這樣就很容易理解為什么2022年版課標(biāo)中小初核心素養(yǎng)的表現(xiàn)既存在聯(lián)系又各有不同。以幾何圖形平行四邊形為例，小學(xué)學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容為平行四邊形的定義、平行四邊形具有不穩(wěn)定性和平行四邊形面積計算等，初中學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是研究平行四邊形的性質(zhì)和判定方法。在不同學(xué)習(xí)階段對同一圖形進行研究，這種學(xué)習(xí)本身就具有連續(xù)性和進階性。因此，對小學(xué)高年級學(xué)生而言，教師可以布置開放性的題目，通過三角板和量角器的使用，尋找平行四邊形邊的關(guān)系及角的關(guān)系。通過測量的方法，小學(xué)生也可以發(fā)現(xiàn)平行四邊形對邊相等、對角相等的圖形性質(zhì)。當(dāng)學(xué)生提出猜想后，教師可以通過幾何畫板繪制動畫，讓學(xué)生任意拖動改變平行四邊形的角度及邊長，通過信息技術(shù)的支持，讓學(xué)生觀察在運動變化過程中猜想是否仍然成立，對猜想進行舉例驗證。至于如何進行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碜C明，證明過程中又有什么理論依據(jù)，這些學(xué)習(xí)工作可留給學(xué)生在初中完成。在此過程中，不僅能幫助學(xué)生進行小初學(xué)習(xí)的過渡，更可以激發(fā)學(xué)有余力的學(xué)生主動探索新知。由此可見，無論小學(xué)教師還是初中教師，熟悉、鉆研小學(xué)和初中教材，教學(xué)中回歸教材，對小初銜接工作至關(guān)重要。

對數(shù)學(xué)學(xué)科而言，小學(xué)與初中從教材內(nèi)容到培養(yǎng)的學(xué)科核心素養(yǎng)，都具有整體性、一致性和階段性，僅是在不同階段具有不同表現(xiàn)。因此，兩個階段對學(xué)科核心素養(yǎng)的連續(xù)性培養(yǎng)工作應(yīng)該是貫穿整個義務(wù)教育階段，通過小學(xué)六年學(xué)習(xí)的積累，逐漸對初中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力產(chǎn)生影響。當(dāng)然，這也需要教師在備課過程中，對小學(xué)、初中教材進行比較使用，不斷實踐，對教學(xué)內(nèi)容進行思考，探索設(shè)計更多有助于學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)培養(yǎng)的教學(xué)活動。

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作者:北京市第一七一中學(xué) 單位:北京市第一七一中學(xué)